Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點、(點在點的左側)，經過點的直線：與軸交于點，與拋物線的另一個交點為．

（1）則點的坐標為__________，點的坐標為__________，拋物線的對稱軸為__________；

（2）點是直線下方拋物線上的一點，當時．求面積的最大值；

（3）設為拋物線對稱軸上一點，點在拋物線上，若以點、、、為頂點的四邊形為矩形，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，拋物線的對稱軸是：直線；（2）當時，面積的最大值為；（3）當點、、、為頂點的四邊形為矩形時，的值為，

【解析】

（1）利用拋物線與軸交點的縱坐標為，列方程直接求解，利用拋物線的對稱軸公式直接求對稱軸方程；

（2）過點作軸交直線于點，利用，建立面積與的橫坐標的函數，利用函數的性質求最大值；

（3）分別以為邊與對角線進行討論，利用矩形的性質與拋物線的性質及平移的特點求解的坐標，再利用函數知識或三角函數或相似建立方程即可得到答案．

解（1）令，得，

因為：，所以，

所以：，

，，

拋物線的對稱軸是：直線；

（2）過點作軸交直線于點，如圖1，

∵，∴拋物線的解析式為， 直線的解析式為

設點，則

∴

∵，∴當時，面積的最大值為．

圖1

（3）聯立：，得，

∴點

①若點、、、為頂點的矩形中，

過點作軸，過點作于點如圖2，

則，，，

∴，則點的坐標為，

由平移得，點的坐標為，

∴，

∴，∴（負值合去）

圖2

②若矩形中為對角線，∵，，

由，

則由平移可得：點的坐標為，

過點作軸，點作軸，

過點作于點，交于點，如圖3，

則，

，，

∴，∴（負值舍去）

∴當點、、、為頂點的四邊形為矩形時，的值為，．