Question

【題目】已知等邊三角形ABC，點D是邊AC上任意一點，延長BC至E，使CE＝AD．

（1）如圖1，點D是AC中點，求證：DB＝DE；

（2）如圖2，點D不是AC中點，求證：DB＝DE；

（3）如圖3，點D不是AC中點，點F是BD的中點，連接AE，AF，求證：AE＝2AF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到BD為∠ABC的角平分線，∠ABC＝∠ACB＝60°，根據等腰三角形的性質、等腰三角形的判定定理證明；

（2）過D作EF∥DG交AB，交BC于G，證明△BDC≌△EDG，根據全等三角形的性質證明結論；

（3）延長AF至H，使FH＝AF，連接DH，證明△ABF≌△HDF，得到AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，證明△ADH≌△ECA，得到AE＝AH，證明結論．

證明：（1）∵在等邊△ABC中，D是AC的中點，

∴BD為∠ABC的角平分線，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴

∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED，

∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，

∴

∴∠CBD＝∠CED＝30°，

∴BD＝DE；

（2）過D作EF∥DG交AB，交BC于G

∴∠DGC＝∠ABC＝60°，又∠DCG＝60°，

∴△DGC為等邊三角形，

∴DG＝GC＝CD，

∴BC﹣GC＝AC﹣AD，即AD＝BG，

∵AD＝CE，

∴BG＝CE，

∴BC＝GE，

在△BDC和△EDG中，

，

∴△BDC≌△EDG（SAS）

∴BD＝DE；

（3）延長AF至H，使FH＝AF，連接DH，

在△ABF和△HDF中，

，

∴△ABF≌△HDF（SAS）

∴AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，

∴AC＝HD，AB∥DH，

∴∠ADH＝180°﹣∠BAC＝120°，

在△ADH和△ECA中，

∴△ADH≌△ECA（SAS）

∴AE＝AH，

∵AH＝2AF，

∴AE＝2AF．