Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于點E，F是AB的中點，聯結AE、EF，且AE⊥BE．

求證：（1）四邊形BCEF是菱形；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）根據角平分線的性質可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可得出EF=BF=AB，進而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“內錯角相等，兩直線平行”可得出EF∥BC，結合AB∥CD可得出四邊形BCEF是平行四邊形，再由鄰邊EF=BF即可證出四邊形BCEF是菱形；

（2）根據菱形的性質可得出BC=BF，結合BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，結合∠D=∠AEB=90°可證出△EDA∽△AEB，根據相似三角形的性質可得出BEAE=ADBA，代入BA=2BC即可證出結論．

詳解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．

∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°．

∵F是AB的中點，∴EF=BF=AB，∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，∴EF∥BC．

∵AB∥CD，∴四邊形BCEF是平行四邊形．

∵EF=BF，∴四邊形BCEF是菱形．

（2）∵四邊形BCEF是菱形，∴BC=BF．

∵BF=AB，∴AB=2BC．

∵AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB．

∵∠D=∠AEB=90°，∴△EDA∽△AEB，∴=，∴BEAE=ADBA，∴BEAE=2ADBC．