Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點D，聯結OA、OC．

（1）求證：△OAD∽△ABD；

（2）當△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；

（3）記△AOB、△AOD、△COD 的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC= ．（3）OD=．

【解析】

試題分析：（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可證明△OAD∽△ABD；

（2）如圖2中，當△OCD是直角三角形時，可以證明△ABC是等邊三角形即可解決問題；

（3）如圖3中，作OH⊥AC于H，設OD=x．想辦法用x表示AD、AB、CD，再證明AD2=ACCD，列出方程即可解決問題；

試題解析：（1）如圖1中，

在△AOB和△AOC中， ，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

（2）如圖2中，

∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=OA=，∴AD= = ，∴BC=AC=2AD= ．

（3）如圖3中，作OH⊥AC于H，設OD=x．

∵△DAO∽△DBA，∴ ,∴，∴AD= ，AB= ，

∵S2是S1和S3的比例中項，∴S22=S1S3，

∵S2=ADOH，S1=S△OAC=AC﹒OH，S3=CD﹒OH，∴（AD﹒OH）2=AC﹒OH﹒CD﹒OH，

∴AD2=ACCD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，

∴（）2=（﹣），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x= 或，

經檢驗：x=是分式方程的根，且符合題意，

∴OD=．