Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．

①AE=EF是否一定成立？說出你的理由；

②在如圖2所示的直角坐標系中拋物線y=ax2+x+c經過A、D兩點，當點E滑動到某處時，點F恰好落在此拋物線上，求此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②點F的坐標為F（，）

【解析】試題分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中點，從而只需取AB點G，連接EG，則有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；

（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同樣可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，證全等即可；

②根據A、D兩點的坐標求出拋物線解析式，設出F點的橫坐標，縱坐標用橫坐標表示，將F點的坐標代入拋物線解析式即可求出坐標．

解：（1）如圖1，取AB的中點G，連接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．

證明：如圖2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，

∴BG=BE，

∴△GBE是等腰直角三角形，

∴∠AGE=180°﹣45°=135°，

∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AGE=∠ECF，

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF．

②由題意可知拋物線經過A（0，1），D（1，1）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+1，

過點F作FH⊥x軸于H，

由①知，FH=BE=CH，設BH=a，則FH=a﹣1，

∴點F的坐標為F（a，a﹣1），

∵點F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a=（負值不合題意，舍去），

點F的坐標為F（，）.