Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx-4a的對稱軸為直線x=，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，4）．

（1）求拋物線的解析式，結合圖象直接寫出當0≤x≤4時y的取值范圍；

（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，點D關于直線BC的對稱點為點E，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）0≤y≤．（2）（0，1）．

【解析】

試題分析：（1）把C（0，4）代入y=ax2+bx-4a得出a=-1，由對稱軸得出b=3，即可得出拋物線的解析式；結合圖象容易得出當0≤x≤4時y的取值范圍；

（2）把點D（m，m+1）代入拋物線解析式，求出m的值；由題意得出CD∥AB，且CD=3，再證明△OBC是等腰直角三角形，得出∠OCB=∠DCB=45°，得出點E在y軸上，OE=1，即可得出點E的坐標．

試題分析：（1）將C（0，4）代入y=ax2+bx-4a中得a=-1

又∵對稱軸為直線x=，

∴-=，得b=3．

∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4，

∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+．

∴頂點坐標為：（，），

∴當0≤x≤4時y的取值范圍是0≤y≤．

（2）∵點D（m，m+1）在拋物線上，

∴m+1=-m2+3m+4，

解得：m=-1，或m=3；

∵點D在第一象限，

∴點D的坐標為（3，4）．

又∵C（0，4），

∴CD∥AB，且CD=3．

當y=-x2+3x+4=0時，

解得：x=-1，或x=4，

∴B（4，0）；

當x=0時，y=4，

∴C（0，4），

∴OB=OC=4，

∴∠OCB=∠DCB=45°，

∴點E在y軸上，且CE=CD=3，

∴OE=1．

即點E的坐標為（0，1）．