Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點P，Q是AC的中點，連接QP并延長交CB的延長線于點D．

（1）判斷直線PQ與⊙O的位置關系，并說明理由：

（2）若AP=4，tanA=，

①求⊙O的半徑的長；

②求PD的長．

Answer 1

（1）直線PQ與⊙O相切．理由見解析；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）首先連接OP、CP，由BC是⊙O的直徑，根據圓周角定理可得∠BPC=90°，又由Q是AC的中點，根據直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得PQ=CQ=AQ，繼而可證得∠1+∠3=90°，則可得直線PQ與⊙O相切；

（2）在Rt△APC中利用三角函數求出PC和AC的長；在Rt△ABC中求出BC的長即可確定圓的半徑；

（3）連接OQ，易證△DOQ∽△DBP，得，即，又BP=1，PQ=AC=，從而可求PD的長.

試題解析：（1）直線PQ與⊙O相切．理由如下：

連接OP、CP．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BPC=90°．

又∵Q是AC的中點，

∴PQ=CQ=AQ．

∴∠3=∠4，

∵∠BCA=90°，

∴∠2+∠4=90°．

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=90°．

即∠OPQ=90°，

∴直線PQ與⊙O相切；

（2）①在Rt△APC中，AP=4，tanA=

∴CP=AP×tanA=4×=2

∴AC=

在Rt△ABC中，AC=，tanA=

∴BC=AC×tanA=×=

即⊙O的半徑長為

（3）連接OQ

∵Q是AC的中點，O是BC的中點

∴OQ∥AB，OQ=AB=

∴△DOQ∽△DBP

∴

即：

又BP=1，PQ=AC=

∴

即：PD=

考點：1.切線的判定；2.相似三角形的性質與判定．

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關性質與圓的有關計算是近幾年各地中考命題的重點內容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內容：①圓的有關性質的應用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數的綜合運用以及有關的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯系和知識之間的相互轉化。②理解直線和原的三種位置關系，掌握切線的性質和判定的歌，會根據條件解決圓中的動態問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關系來盤底的那個兩個圓的位置關系，對中考試題中常出現的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關性質，進行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。 試題屬性

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