Question

【題目】如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）根據△ABC是等腰直角三角形得出∠BAC=∠ABC=45°，根據∠CAD=∠CBD=15°得出∠BAD=∠ABD=30°，則BD=AD，說明D在AB的垂直平分線上，根據AC=BC得出點C也在AB的垂直平分線上，從而說明直線CD是AB的垂直平分線，則∠ACD=∠BCD=45°，∠CDE=∠BDE=60°，即DE平分∠BDC；（2）連接MC，根據DC=DM，∠MDC=60°得到△MDC為正三角形，則CM=CD，∠DMC=∠MDC=60°，從而得到∠DAC=∠CEM，從而說明△ADC和△EMC全等，則ME=AD=BD．

試題解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°， ∠ABD=∠ABC﹣15°=30°， ∴∠BAD=∠ABD ∴BD=AD，

∴D在AB的垂直平分線上， ∵AC=BC， ∴C也在AB的垂直平分線上， 即直線CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CDE=15°+45°=60°， ∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°； ∴∠CDE=∠BDE，

即DE平分∠BDC．

（2）如圖，連接MC．

∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC是等邊三角形，

∴CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°， ∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°， ∴∠EMC=∠ADC．

又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM．

在△ADC與△EMC中，， ∴△ADC≌△EMC（AAS）， ∴ME=AD=BD．