Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+m+1與x軸交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）兩點，且x1＜0，x2＞0，與y軸交于點C，頂點為P．（提示：若x1 ， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實根，則x1+x2=﹣ ，x1x2= ）

(1)求m的取值范圍；

(2)若OA=3OB，求拋物線的解析式；

(3)在(2)中拋物線的對稱軸PD上，存在點Q使得△BQC的周長最短，試求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)m＞﹣1；(2)y=﹣x2﹣2x+3；(3)存在點Q（﹣1，2）使得△BQC的周長最短.

【解析】

（1）將拋物線的問題轉化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判別式和根與系數的關系解決；

（2）先用一元二次方程的兩根表示出OA，OB，再用根與系數的關系即可；

（3）先由于點A，B關于拋物線的對稱軸PD對稱，連接AC與PD的交點就是使△BQC的周長最短，然后確定出直線AC解析式，最后將拋物線的對稱軸代入直線AC解析式中即可．

(1)令y=0，則有﹣x2﹣2x+m+1=0，

即：x1 ， x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+m+1與x軸交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）兩點，

∴x1x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，

△=4+4（m+1）＞0，

∴m＞﹣2

∵x1＜0，x2＞0，

∴x1x2＜0，

∴﹣（m+1）＜0，

∴m＞﹣1，

即m＞﹣1

(2)解：∵A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）兩點，且x1＜0，x2＞0，

∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ，

∵OA=3OB，

∴﹣x1=3x2 ， ①

由(1)知，x1+x2=﹣2，②

x1x2=﹣（m+1），③

聯立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，

∴拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3

(3)存在點Q，

理由：如圖，

連接AC交PD于Q，點Q就是使得△BQC的周長最短，（∵點A，B關于拋物線的對稱軸PD對稱，）

連接BQ，

由(2)知，拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，

∴拋物線的對稱軸PD為x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），

∴用待定系數法得出，直線AC解析式為y=x+3，

當x=﹣1時，y=2，

∴Q（﹣1，2），

∴點Q（﹣1，2）使得△BQC的周長最短