Question

【題目】如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，拋物線過點B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．
（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點N的坐標．
（3）在拋物線上是否存在點P，使S△PBD=6？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，∴C（1，0）．

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

∵點B（0，3），D（3，0）在直線BD上，

∴ ，

解得k=﹣1，b=3，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x+3．

設拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵點B（0，3）在拋物線上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3

（2）解：拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2，﹣1）．

直線BD：y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）．

設對稱軸與x軸交點為點F，則CF=FD=MF=1，

∴△MCD為等腰直角三角形．

∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形．

如答圖1所示：

（I）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為原點O，

∴N1（0，0）；

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點，則點N在x軸負半軸上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點，則點N在y軸負半軸上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，﹣3）．

∴滿足條件的點N坐標為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）

（3）解：方法一：

假設存在點P，使S△PBD=6，設點P坐標為（m，n）．

（I）當點P位于直線BD上方時，如答圖2所示：

過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=n，DE=m﹣3．

S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= （3+n）m﹣ ×3×3﹣ （m﹣3）n=6，

化簡得：m+n="7" ①，

∵P（m，n）在拋物線上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，

解得：m1=4，m2=﹣1，

∴n1=3，n2=8，

∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；

（II）當點P位于直線BD下方時，如答圖3所示：

過點P作PE⊥y軸于點E，則PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．

S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE= （3+m）（﹣n）+ ×3×3﹣ （3﹣n）m=6，

化簡得：m+n=﹣1 ②，

∵P（m，n）在拋物線上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程無解．

故此時點P不存在．

綜上所述，在拋物線上存在點P，使S△PBD=6，點P的坐標為（4，3）或（﹣1，8）．

方法二：

假設存在點P，使S△PBD=6，

過點P作直線l平行BD，則l與BD的距離為d，

∵BD= =3 ，

∴S△PBD= BD×d，

∴d=2 ，

∵BD與y軸夾角為45°，

∴BB′=4，

∴將BD上移或下移4個單位，

①上移4個單位，l解析式為：y=﹣x+7，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x﹣4=0，

∴x1=4，x2=﹣1，

②下移4個單位，l解析式為y=﹣x﹣1，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x+4=0，△＜0，∴此方程無解，

綜上所述，點P的坐標為（4，3）或（﹣1，8）

【解析】（1）由題意得到A、B的坐標，由△AOB沿y軸翻折，得到C點坐標，由B、D點坐標求出直線BD的解析式；由點B坐標得到二次函數解析式；（2）由拋物線的解析式，得到頂點坐標，由已知條件得到△MCD為等腰直角三角形，由點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，得到△BND為等腰直角三角形，（I）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為原點O，得到點N的坐標；（II）若BD為直角邊，B為直角頂點，則點N在x軸負半軸上，得到點N的坐標；（III）若BD為直角邊，D為直角頂點，則點N在y軸負半軸上，得到點N的坐標；（3）（I）當點P位于直線BD上方時，求出S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE的值，得到點P的坐標；（II）當點P位于直線BD下方時，求出S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE的值，得到此時點P不存在；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.