Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線PDE垂直于AB于點F，交BC于點G，∠A=∠BCP．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若點C在劣弧AD上運動，其條件不變，問應再具備什么條件可使結論BG2=BF·BO成立，（要求畫出示意圖并說明理由）.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）證PC是⊙O的切線，即證∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因為AB為直徑，直徑所對的圓周角為直角，即可證明．

（2）BG2=BFBO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必須相似，而他們已經共用了一角B，所以如果相似，則必有∠BFG=∠BGO=90°，根據垂徑定理，G點必在BC中點處．

試題解析：（1）證明：連接OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．∵AB為直徑，∴∠OCA+∠OCB=90°，∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°，即PC是⊙O的切線．

（2）解：添加條件為：G為BC的中點．

連接OG．∵G為BC的中點，∴OG⊥BC又FG⊥BO，∴Rt△BFG∽Rt△BGO，∴ ，即BG2=BFBO．