Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經過點C(0，-2)，頂點D的坐標為（1，），與軸交于A、B兩點.

（1）求拋物線的解析式.

（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值.

（3）點F（0，）是軸上一動點，當為何值時，的值最小.并求出這個最小值.

（4）點C關于軸的對稱點為H，當取最小值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）E，；（3）當時，有最小值為；（4）存在，點Q的坐標為或或或.

【解析】

（1）把C、D坐標代入二次函數解析式，列方程組求出a、c的值即可；（2）根據拋物線解析式可求出A、B兩點坐標，即可求出AC、AB的長，設直線AC的解析式為：，把A、C坐標代入可求出k、b的值，可得直線AC的解析式，根據△AOC∽△AEB可得，可求出△AEB的面積，進而可求出，代入直線AC解析式可求出E點坐標，根據相似三角形的性質即可求出的值；（3）連接BF，過點F作FG⊥AC于G，可得FG=，可得當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，由（2）可知∠ABE=∠ACO，利用∠ABE的余弦和正切求出BE的長和 的值即可；（4）可分如下三種情況：當點Q為直角頂點時（如圖）：由（3）可知F點的坐標，根據點C與點H關于軸對稱可求出點H坐標，設Q（1，），過點Q作QM軸于點M，可得Rt△QHM∽Rt△FQM，即可證明，即可求出m的值；當點H為直角頂點時，可得HQ//x軸，即可得出Q點坐標，當點F為直角頂點時，可得FQ//x軸，即可求出Q點坐標.

（1）∵的圖象經過點C(0，-2)，頂點D的坐標為（1，），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：.

（2）∵拋物線解析式為：.

∴當y=0時，=0，

解得：x1=-1，x2=3，

∴OA=1，OB=3，AB=4，

∵C（0，-2），

∴OC=2，

∴AC=，

設直線AC的解析式為：，則

解得：

∴直線AC的解析式為：

當△AOC∽△AEB時（如圖）

∵

∴

∴，

即，

∴，

∴，

將代入，得，

∴E，

∵△AOC∽△AEB，

∴，

∴，

（3）如圖，連接BF，過點F作FG⊥AC于G

則FG=，

∴，

當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，

由（2）可知∠ABE=∠ACO，

∴，

，

∴當時，有最小值為.

（4）可分如下三種情況：

①當點Q為直角頂點時（如圖）：

由（3）得F，

∵C（0，-2），

∴H（0，2），

∵點Q在拋物線的對稱軸上，

∴設Q（1，），

過點Q作QM軸于點M，

則Rt△QHM∽Rt△FQM，

∴，

∴，

即

∴Q（1，）或Q（1，），

②如圖，當點H為直角頂點時：

∵∠FHQ=90°，

∴HQ//x軸，

∵H（0，2），Q點在拋物線對稱軸上，

∴Q（1，2），

③如圖，當點F為直角頂點時，

∵∠HFQ=90°，

∴FQ//x軸，

∵F（0，），Q點在拋物線對稱軸上，

∴Q（1，）.

綜上所述，點Q的坐標為或 或 或