Question

28、如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20這三個數都是神秘數．
（1）28和2012這兩個數是神秘數嗎？為什么？
（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？
（3）兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，即可判斷是否是神秘數；
（2）化簡兩個連續偶數為2k+2和2k的差，再判斷；
（3）設兩個連續奇數為2k+1和2k-1，則（2k+1）²（2k-1）²=8k，即可判斷兩個連續奇數的平方差不是神秘數．

解答：解：（1）28=4×7=8²-6²；2012=4×503=504²-502²，
所以是神秘數；
（2）（2k+2）²-（2k）²=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數．
（3）設兩個連續奇數為2k+1和2k-1，
則（2k+1）²（2k-1）²=8k，
∴兩個連續奇數的平方差不是神秘數．

點評：此題考查的知識點是因式分解的應用，同時考查了閱讀能力、探究推理能力．對知識點的考查，主要是平方差公式的靈活應用．