Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）四邊形BECD是菱形；

（3）∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

【解析】

試題分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；

（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

試題解析：（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE=AD；

（2）四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，

∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D為BA中點，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．