Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）判斷ABC的形狀，并說明理由；

（2）如圖1，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交x軸于點E．當PBC面積的最大值時，點F為線段BC一點（不與點、重合），連接EF，動點G從點E出發，沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到點F，再沿FC以每秒個單位的速度運動到點C后停止，當點F的坐標是多少時，點G在整個運動過程中用時最少？

（3）如圖2，將ACO沿射線CB方向以每秒個單位的速度平移，記平移后的ACO為A1C1O1，連接A A1,直線A A1交拋物線與點M，設平移的時間為t秒，當A MC1為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC為直角三角形，理由見解析；（2）；（3）當△AMC1為等腰三角形時，則t的值t=或或或.

【解析】（1）結論：△ABC是直角三角形．在Rt△AOC中，由tan∠ACO=，推出∠ACO=30°，在Rt△OBC中，由tan∠BCO=，推出∠BCO=60°，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°；

（2）設P（m，m2-m-），作射線CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，則FH=CFcos30°=CF，首先求出點P坐標，動點G的運動時間=CF=EF+FH，根據垂線段最短可知，當EH⊥CN時，動點G的運動時間最小，由此即可解決問題；

（3）求出直線AM的解析式，利用方程組求出點M坐標，由題意C′（t，t-），分三種情形討論，想辦法列出方程即可解決問題；

（1）結論：△ABC是直角三角形．

理由：如圖1中，連接AC．

∵拋物線y=x2-x-與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，

∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-），

在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

在Rt△OBC中，∵tan∠BCO=，

∴∠BCO=60°，

∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，

∴△ABC是直角三角形．

（2）設P（m，m2-m-），作射線CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，則FH=CFcos30°=CF．

則S△PBC=S△POC+S△POB-S△BOC

=××m+×3×（-m2+m+）-××3

=-（m-）2+ ，

∵-＜0，

∴m=時，△PBC的面積最大，此時P（，-），

∵動點G的運動時間=CF=EF+FH，

根據垂線段最短可知，當EH⊥CN時，動點G的運動時間最小，

∵∠EFB=∠EBF=30°，

∴EF=EB=，

在Rt△EFG中，FG=EFcos30°=，EG=，OG=，

∴此時F的坐標為（，-）．

（3）由題意直線BC的解析式為y=x-，直線AC的解析式為y=x+，

由 ，

解得，或

∴M（4，），

∵C1（t，t-），

∴AM2=52+（）2，C1A2=（t+1）2+（t-）2，MC1=（4-t）2+（-t+）2，

①當AM=MC1時，52+（）2=（4-t）2+（-t+）2，解得t=5+或5-，

②當C1A=C1M時，（t+1）2+（t-）2=（4-t）2+（-t+）2，解得t=

③當C1A=AM時，52+（）2=（t+1）2+（t-）2，解得t=s或-（舍棄），

綜上所述，滿足條件的t的值為（5+）s或（5-）s或s或s．