Question

【題目】如圖1，AC是邊長為6的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝∠PAQ＝60°，∠PAQ繞點A旋轉，射線AP、AQ分別交邊BC、CD于點E、F，連接EF．請探究：

(1)在旋轉過程中，線段AE、AF有怎樣的數量關系？并說明理由；

(2)在旋轉過程中，△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由

(3)如圖2，將∠PAQ沿著AC向下平移至點A處，使CA′：AA′＝2：1，在∠PA′Q繞點A′旋轉過程中，始終保持∠ABC＝∠PA′Q，射線A′P、A′Q分別交直線BC、CD于點E、F，連接EF．當S△A′EF：S菱形ABCD＝19：18時，直接寫出線段CE的長．

Answer 1

【答案】(1)AE＝AF；(2)存在，S△AEF的最小值為；(3)滿足條件的EC的值為6或10．

【解析】

(1)結論：AE＝AF．只要證明△ACE≌△ADF即可解決問題．

(2)證明△AEF為等邊三角形，故只有邊長最小時，△AEF的面積才最小，當AP⊥BC時，AE為最小．

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題：①如圖2中，當等E在CB的延長線上時．②如圖3中，當點E在BC的延長線上時．

解：(1)結論：AE＝AF．

理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD

∵∠ABC＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝60°，

∴AC＝AD，

又∵∠PAQ＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝∠CAD＝60°，AC＝AD，

∴∠CAE＝∠DAF，

∴△ACE≌△ADF(ASA)，

∴AE＝AF．

(2)存在．

理由：如圖1中，由(1)得AE＝AF，∠PAQ＝60°

∴△AEF為等邊三角形，

故只有邊長最小時，△AEF的面積才最小，

∴當AP⊥BC時，AE為最小，

∵AB＝6，

此時AE＝3，則S△AEF的最小值為．

(3)①如圖2中，當等E在CB的延長線上時，作A′H⊥BC于H．

由題意菱形ABCD的面積＝2××62＝18，

∵S△A′EF：S菱形ABCD＝19：18，

∴S△AEF＝19，

∵△A′EF是等邊三角形，

∴×A′E2＝19，

∴A′E2＝76，

在Rt△A′CH中，∵CA′＝4，∠A′CH＝60°，

∴CH＝×4＝2，A′H＝2，

∴EH＝＝8，

∴CE＝EH+CH＝8+2＝10．

②如圖3中，當點E在BC的延長線上時，作A′H⊥BC于H．

同法可證EH＝8，可得EC＝EH＝CH＝8﹣2＝6，

綜上所述，滿足條件的EC的值為6或10．