Question

【題目】如圖，反比例函數y＝（x＞0）過點A（3，4），直線AC與x軸交于點C（6，0），過點C作x軸的垂線交反比例函數圖象于點B．

（1）求反比例函數和直線AC的解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）在平面內有點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出符合條件的所有D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；y＝﹣x+8；（2）B（6，2）；△ABC的面積＝3；（3）（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．

【解析】

（1）把點A的坐標代入反比例函數即可求出k，再把點A和點C的坐標代入一次函數中即可求出解析式；

（2）由題意BC⊥x軸，且點B在反比例函數上，可求出點B的坐標，從而求出△ABC的面積；

（3）根據平行四邊形的性質求得點D的坐標，注意分三種情況討論.

解：（1）把點A（3，4）代入y＝（x＞0），得

k＝xy＝3×4＝12，

故該反比例函數解析式為：y＝；

把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，

可得： ，

解得： ，

所以直線AC的解析式為：y＝﹣x+8；

（2）∵點C（6，0），BC⊥x軸，

∴把x＝6代入反比例函數y＝，得

y＝＝2．

則B（6，2）．

所以△ABC的面積＝；

（3）①如圖，當四邊形ABCD為平行四邊形時，AD∥BC且AD＝BC，

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴點D的橫坐標為3，yA﹣yD＝yB﹣yC即4﹣yD＝2﹣0，故yD＝2，

所以D（3，2）；

②如圖，當四邊形ACBD′為平行四邊形時，AD′∥CB且AD′＝CB，

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴點D的橫坐標為3，yD′﹣yA＝yB﹣yC即yD﹣4＝2﹣0，故yD′＝6．

所以D′（3，6）．

③如圖，當四邊形ACD″B為平行四邊形時，AC＝BD″且AC∥BD″．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴xD″﹣xB＝xC﹣xA即xD″﹣6＝6﹣3，故xD″＝9．

yD″﹣yB＝yC﹣yA即yD″﹣2＝0﹣4，故yD″＝﹣2．

所以D″（9，﹣2）．

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．