Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點，DE=AD (n為大于2的整數)，連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD，BC于點F，G，FG與BE的交點為O，連接BF和EG．

(1)試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；

(2)當AB=a(a為常數)，n=3時，求FG的長；

(3)記四邊形BFEG的面積為S1，矩形ABCD的面積為S2，當時，求n的值．(直接寫出結果，不必寫出解答過程)

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）；（3）6.

【解析】試題分析：（1）根據矩形和線段垂直平分線的性質，由AAS證明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，從而得出四邊形BFEG是菱形的結論.

（2）根據矩形和菱形的性質，反復應用勾股定理即可求得FG的長.

（3）同（2）的思路，應用特殊元素法，列出關于n的方程求解即可.

試題解析：（1）（1）菱形，理由如下：

∵FG為BE的垂直平分線，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.

又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.

∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.

∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG為菱形.

（2）∵AB＝a，AD=2AB， ，∴AD＝2a， .

∴根據勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.

設菱形BFEG的邊長為x，

∵AB2＋AF2＝BF2，

∴，解得：x＝.

∴OF＝.

∴FG＝.

（3）n＝6.