Question

【題目】在平面直角坐標系中有一△BOD，，把 BO 繞點O 逆時針旋轉 90°得OA， 連接AB，作于點 C，點B 的坐標為（1，3）.

（1）求直線AB 的解析式；

（2）若AB 中點為 M，連接 CM，動點 P、Q 同時從 C 點出發，點 P 沿射線CM 以每秒2個單位長度的速度運動，點Q沿線段CD 以每秒1個單位長度的速度向終點 D 運動，當Q點運動到D 點時，P、Q同時停止運動，設△PQO 的面積為 S（），運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的 P 點，使得P、O、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出對應的t 值和此時Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

（3）存在這樣的P點.

當∠POB為90°時，t=，Q點坐標為（）

當∠PBO為90°時，t=，Q點坐標為（）

當∠BPO為90°時，t=3，Q點坐標為（0,0）或t=2，Q點坐標為（-1,0）

【解析】

（1）根據待定系數法，先求出點A的坐標，然后將A、B兩點坐標代入即可.（2）根據AB中點M，求出點M的坐標,在求出CM的解析式，過點P做PH垂直CO交CO于點H，用t表示出OQ和PH的長，根據,即可求出S關于t的函數關系式.(3)根據勾股定理，此題須分三種情況分別求t的值.

解：（1）

設直線AB解析式為y=kx+b

將A、B兩點坐標分別代入得：

解得：

(2)∵,

∴直線MC的解析式為

過點P做交CO于點H,

（3）∵直線MC的解析式為

∴設P點坐標為（x,x+3）,

①當∠POB為90°時

整理得：

，Q點坐標為（ ）

此時t==

②當∠PBO為90°時，

解得x=，Q點坐標為（）

此時t=

③當∠BPO為90°時

整理得：

，

Q點坐標為（0,0）或（-1,0）

此時t=3+0=3或者t=3-1=2

故存在這樣的P點.

當∠POB為90°時，t=，Q點坐標為（）

當∠PBO為90°時，t=，Q點坐標為（）

當∠BPO為90°時，t=3，Q點坐標為（0,0）或t=2，Q點坐標為（-1,0）