Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)你F在直線AD上方的拋物線上，F(xiàn)G⊥AD于G，F(xiàn)H∥x軸交直線AD于H，求△FGH的周長的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線l垂直于直線AM，與坐標(biāo)軸交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R在拋物線的對稱軸上，使得△PQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

（2）

解：令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（1，2），AD的解析式y(tǒng)=x+1，

∴OA=OE=1，

∴∠EAO=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHA=∠EAO=45°，

∵FG⊥AH，

∴△FGH是等腰直角三角形，

設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，﹣m2+2m+3），

∴點(diǎn)H坐標(biāo)（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），

∴FH=﹣m2+m+2，

∴△FGH的周長=（﹣m2+m+2）+2× （﹣m2+m+2）=﹣（1+ ）（m﹣ ）2+

∴△FGH的周長最大值為 ；

（3）

解：∵拋物線y=﹣x2+2x+3的定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∴直線AM的解析式為y=2x+2，

∵直線l垂直于直線AM，

∴設(shè)直線l的解析式為y=﹣ x+b，

∵與坐標(biāo)軸交于P、Q兩點(diǎn)，

∴直線l的解析式為y=﹣ x+b與y軸的交點(diǎn)P（0，b），與x軸的交點(diǎn)Q（2b，0），

設(shè)R（1，a），

∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，

∵△PQR是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，

∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，

∴﹣2a=3b﹣4，①

∴PR2+QR2=PQ2，

即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，

∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②

聯(lián)立①②解得： ， ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x+ 或y=﹣ x+2．

【解析】（1）求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）首先證明△FHG是等腰直角三角形，構(gòu)建二次函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)解決問題即可；（3）求得直線AM的解析式為y=2x+2，根據(jù)直線l垂直于直線AM，設(shè)直線l的解析式為y=﹣ x+b，得到直線l的解析式為y=﹣ x+b與y軸的交點(diǎn)P（0，b），與x軸的交點(diǎn)Q（2b，0），設(shè)R（1，a），根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．