Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四邊形DBCE是平行四邊形．

∴CE=BD，

又∵CD是邊AB上的中線，

∴BD=AD，

∴CE=DA，

又∵CE∥DA，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∵∠BCA=90°，CD是斜邊AB上的中線，

∴AD=CD，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）解：過點C作CF⊥AB于點F，

由（1）可知，BC=DE，

設BC=x，則AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= = x．

∵ ABCF= ACBC，

∴CF= = x．

∵CD= AB= x，

∴sin∠CDB= = ．

【解析】（1）由DE∥BC，CE∥AB，可證得四邊形DBCE是平行四邊形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，證得四邊形ADCE平行四邊形的性質，繼而證得四邊形ADCE是菱形；（2）首先過點C作CF⊥AB于點F，由（1）可知，BC=DE，設BC=x，則AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面積，求得CF的長，由勾股定理即可求得CD的長，繼而求得答案．
【考點精析】掌握勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．