Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點和點，與軸交于點，以為邊在軸上方作正方形，點是軸上一動點，連接，過點作的垂線與軸交于點．

（1）求該拋物線的函數關系表達式；

（2）當點在線段（點不與重合）上運動至何處時，線段的長有最大值？并求出這個最大值；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點，連接．請問：的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，線段有最大值．最大值是；（3）時，的面積有最大值，最大值是，此時點的坐標為．

【解析】

（1）將點的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）設，則，由得出比例線段，可表示的長，利用二次函數的性質可求出線段的最大值；

（3）過點作軸交于點，由即可求解．

解：（1））∵拋物線經過，，

把兩點坐標代入上式，，

解得：，

故拋物線函數關系表達式為；

（2）∵，點，

∴，

∵正方形中，，

∴，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設，則，

∴，

∴，

∵，

∴時，線段長有最大值，最大值為．

即時，線段有最大值．最大值是．

（3）存在．

如圖，過點作軸交于點，

∵拋物線的解析式為，

∴，

∴點坐標為，

設直線的解析式為，

∴，

∴，

∴直線的解析式為，

設，則，

∴，

∴，

∵，

∴時，的面積有最大值，最大值是，此時點的坐標為．