Question

【題目】[建立模型]

(1)如圖1．等腰中， ， ，直線經過點，過點作于點，過點作于點，求證: ；

[模型應用]

(2)如圖2．已知直線與軸交于點，與軸交于點，將直線繞點逆時針旋轉45'°至直線，求直線的函數表達式:

(3)如圖3，平面直角坐標系內有一點，過點作軸于點，BC⊥y軸于點，點是線段上的動點，點是直線上的動點且在第四象限內．試探究能否成為等腰直角三角形?若能，求出點的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線l2的函數表達式為：y＝5x10；（3）點D的坐標為（，）或（4，7）或（，）．

【解析】

（1）由垂直的定義得∠ADC＝∠CEB＝90°，由同角的余角的相等得∠DAC＝∠ECB，然后利用角角邊證明△BEC≌△CDA即可；

（2）過點B作BC⊥AB交AC于點C，CD⊥y軸交y軸于點D，由（1）可得△ABO≌△BCD（AAS），求出點C的坐標為（3，5），然后利用待定系數法求直線l2的解析式即可；

（3）分情況討論：①若點P為直角時，②若點C為直角時，③若點D為直角時，分別建立（1）中全等三角形模型，表示出點D坐標，然后根據點D在直線y＝2x＋1上進行求解．

解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠ECB＝∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△CDA和△BEC中，，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）過點B作BC⊥AB交AC于點C，CD⊥y軸交y軸于點D，如圖2所示：

∵CD⊥y軸，

∴∠CDB＝∠BOA＝90°，

又∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

又∵∠BAC＝45°，

∴AB＝CB，

由[建立模型]可知：△ABO≌△BCD（AAS），

∴AO＝BD，BO＝CD，

又∵直線l1：與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴點A、B的坐標分別為（2，0），（0，3），

∴AO＝2，BO＝3，

∴BD＝2，CD＝3，

∴點C的坐標為（3，5），

設l2的函數表達式為y＝kx＋b（k≠0），

代入A、C兩點坐標得：

解得：，

∴直線l2的函數表達式為：y＝5x10；

（3）能成為等腰直角三角形，

①若點P為直角時，如圖3-1所示，過點P作PM⊥OC于M，過點D作DH垂直于MP的延長線于H，

設點P的坐標為（3，m），則PB的長為4＋m，

∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠PMC＝∠DHP＝90°，

∴由[建立模型]可得：△MCP≌△HPD（AAS），

∴CM＝PH，PM＝DH，

∴PH＝CM＝PB＝4＋m，PM＝DH＝3，

∴點D的坐標為（7＋m，3＋m），

又∵點D在直線y＝2x＋1上，

∴2（7＋m）＋1＝3＋m，

解得：m＝，

∴點D的坐標為（，）；

②若點C為直角時，如圖3-2所示，過點D作DH⊥OC交OC于H，PM⊥OC于M，

設點P的坐標為（3，n），則PB的長為4＋n，

∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∠PMC＝∠DHC＝90°，

由[建立模型]可得：△PCM≌△CDH（AAS），

∴PM＝CH，MC＝HD，

∴PM＝CH＝3，HD＝MC＝PB＝4＋n，

∴點D的坐標為（4＋n，7），

又∵點D在直線y＝2x＋1上，

∴2（4＋n）＋1＝7，

解得：n＝0，

∴點P與點A重合，點M與點O重合，點D的坐標為（4，7）；

③若點D為直角時，如圖3-3所示，過點D作DM⊥OC于M，延長PB交MD延長線于Q，則∠Q＝90°，

設點P的坐標為（3，k），則PB的長為4＋k，

∵∠PDC＝90°，PD＝CD，∠PQD＝∠DMC＝90°，

由[建立模型]可得：△CDM≌△DPQ（AAS），

∴MD＝PQ，MC＝DQ，

∴MC＝DQ＝BQ，

∴3－DQ＝4＋k＋DQ，

∴DQ＝，

∴點D的坐標為（，），

又∵點D在直線y＝2x＋1上，

∴，

解得：k＝，

∴點D的坐標為（，）；

綜合所述，點D的坐標為（，）或（4，7）或（，）．