Question

【題目】CD經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件_____，使①中的兩個結論仍然成立。

（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請提出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想并給出理由。．

Answer 1

【答案】==∠α+∠BCA=180°

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

(1)①如圖1中，

E點在F點的左側，

∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90，

∴∠BEC=∠AFC=90，

∴∠BCE+∠ACF=90,∠CBE+∠BCE=90，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CFCE=BEAF，

當E在F的右側時，同理可證EF=AFBE，

∴EF=|BEAF|；

故答案為=，=.

②時，①中兩個結論仍然成立；

證明：如圖2中，

∵

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CFCE=BEAF，

當E在F的右側時，同理可證EF=AFBE，

∴EF=|BEAF|；

故答案為

(2)EF=BE+AF.

理由是：如圖3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA(AAS)，

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF.