Question

【題目】已知：矩形ABCD，AB＝2，BC＝5，動點P從點B開始向點C運動，動點P速度為每秒1個單位，以AP為對稱軸，把△ABP折疊，所得△AB'P與矩形ABCD重疊部分面積為y，運動時間為t秒．

（1）當運動到第幾秒時點B'恰好落在AD上；

（2）求y關于t的關系式，以及t的取值范圍；

（3）在第幾秒時重疊部分面積是矩形ABCD面積的；

（4）連接PD，以PD為對稱軸，將△PCD作軸對稱變換，得到△PC'D，當t為何值時，點P、B'、C'在同一直線上？

Answer 1

【答案】（1）當運動到第2秒時點B′恰好落在AD上；（2）；（3）第4秒時，重疊部分面積都是矩形ABCD面積的；（4）當t為1秒或4秒時，點P，B′，C′在同一直線上．

【解析】

（1）點B′落在AD上時，四邊形ABPB′為正方形，所以t＝2；

（2）分兩種情況討論：①當0≤t≤2時，如圖2，重疊部分面積就是△APB′的面積，即△APB的面積；

②當2＜t≤5時，如圖3，重疊部分面積就是△APE的面積，先根據勾股定理表示出AE的長，再利用面積公式求△APE的面積；

（3）分別將①和②中的y等于矩形ABCD面積的，求出對應的t值即可；

（4）點P，B′，C′在同一直線上時，△AB′P∽△PC′D，得，列一元二次方程，求出t的值即可．

解：（1）如圖1，由折疊得：∠AB′P＝∠B＝90，AB＝AB′＝2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAB′＝90，

∴四邊形ABPB′為正方形，

∴BP＝AB＝2，

∵動點P速度為每秒1個單位，

∴t＝2，

即當運動到第2秒時點B′恰好落在AD上；

（2）分兩種情況：①當0≤t≤2時，如圖2，PB＝t，

由折疊得：S△AB′P＝S△ABP，

∴y＝S△ABP＝ABPB＝×2×t＝t，

②當2＜t≤5時，如圖3，

由折疊得：∠APB＝∠APE，PB＝PB′＝t，

∵AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB，

∴∠DAP＝∠APE，

∴AE＝PE，

設AE＝x，則PE＝x，B′E＝t﹣x，

由勾股定理得：22+（t﹣x）2＝x2，

x＝，

∴，

綜上所述：；

（3）①y＝t＝×2×5，

∴t＝2.5（舍），

②＝×2×5，

∴t1＝1（舍），t2＝4，

綜上所述：在第4秒時，重疊部分面積都是矩形ABCD面積的；

（4）如圖4，點P，B′，C′在同一直線上，

由折疊得：∠APB＝∠APB′，∠C′PD＝∠CPD，

∴∠APC′+∠C′PD＝×180°＝90°，

∵∠PAB′+∠APB′＝90°，

∴∠PAB′＝∠C′PD，

∵∠AB′P＝∠C′＝90°，

∴△AB′P∽△PC′D，

∴，

∴，

解得：t1＝1，t2＝4，如圖5所示，

∴當t為1秒或4秒時，點P，B′，C′在同一直線上．