Question

如圖，在銳角△ABC中，a＞b＞c，以某任意兩個頂點為頂點作矩形，第三個頂點落在以這兩個頂點所確定的對邊上，這樣可以作三個面積相等的矩形，請問這三個矩形的周長大小關系如何？（記t_a、t_b、t_c分別以a、b、c為邊的矩形的周長）答：

 

．

Answer 1

分析：要求3個不同面積相等的矩形的周長的大小，就以面積相等建立等量關系，將3個不同矩形的周長表示出來，利用邊長的大小關系與求差法比較出周長的大小，而使問題得到解決．

解答：解：作AF⊥BC于點F，BE⊥AC于點E，CD⊥AB于點D．
∴S_矩形=b×CD=a×AF=c×BE=S
∴CD=

S

b

，AF=

S

a

，BE=

S

c

，
∴t_a=2a+

2S

a

，t_b=2b+

2S

b

，t_c=2c+

2S

c

，
∴t_a-t_b=2（a-b）+（

2S

a

-

2S

b

）=2（a-b）+

2S(b-a)

ab

，
∵a＞b＞c＞0，ab＞S
∴a-b＞0，b-a＜0，|a-b|＞|

S(b-a)

ab

|，
∴t_a-t_b＞0，
∴t_a＞t_b，同理可得：
t_b＞t_c，
∴t_a＞t_b＞t_c，
故答案為：t_a＞t_b＞t_c．

點評：本題考查了矩形的面積、圖形的等積變換以及等積的圖形周長的關系．