Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上的一動點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F．

（1）求證：△APD≌△CPD．
（2）當菱形ABCD變為正方形，且PC=2，tan∠PFA= 時，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解 ：∵四邊形ABCD是菱形 ，
∴DC=DA ,∠CDB=∠ADB
,又DP=DP ,
∴△APD≌△CPD．

（2）解 ：∵△APD≌△CPD．
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴AP∶FP=PE∶PA，
∴PA2=PEPF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC2=PEPF；
∵tan∠PFA= ，∠DCP=∠F，
∴tan∠DCP== ,
∴DC=2DE ,
∵四邊形ABCD是正方形 ，
∴DC=DA ，
∴DA=2DE ,
即點E是DA的中點 ，
∴DE=EA
在DCE與AFE中，
∵∠DCP=∠F
∠DEC=∠AEF
DE=AE
∴DCE≌AFE
∴EC=EF ，設PE=x ，則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2
22=X·（2x+2）
解得 x1=-2 (舍去） ，x2=1 ，
∴CE=3 ,
再RtDEC中，設DE=y ,則DC=2y ,根據勾股定理得y2+(2y)2=32
解得 y±= ,∴DE=
∴DC= ,
即正方形的邊長為

【解析】（1）根據菱形的性質得出DC=DA ,∠CDB=∠ADB，又DP=DP ,從而利用AAS判斷出△APD≌△CPD；
（2）首先由全等三角形的性質得出∠DAP=∠DCP，根據平行線的性質得出∠DCP=∠F，，從而得出∠DAP=∠F，又∠APE=∠FPA，故△APE∽△FPA ，根據相似三角行的性質得出AP∶FP=PE∶PA，即PA2=PEPF，又由全等三角形的性質得出PA=PC，從而得出PC2=PEPF；根據銳角三角函數的定義及等角的同名三角函數值相等得出DC=2DE ,根據正方形的性質得出DE=EA ，然后利用AAS判斷出DCE≌AFE ,得出EC=EF ，設PE=x ，則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2 ，從而得出關于x的方程求解得出x的值，從而得出CE的長，再RtDEC中，設DE=y ,則DC=2y ,根據勾股定理得出關于y的方程，求解得出y的值，進而得出正方形的邊長。
【考點精析】掌握菱形的性質和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．