Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點P為ΔABC內一點．

(1)連接PB，PC，將ABCP沿射線CA方向平移，得到ΔDAE，點B，C，P的對應點分別為點D、A、E，連接CE．

①依題意，請在圖2中補全圖形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長

(2)如圖3，以點A為旋轉中心，將ΔABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當AC=3，AB=6時，根據此圖求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②；（2）

【解析】試題分析：（1）根據作平移圖形的方法作圖即可；（2）證明四邊形BCAD是矩形，得到CD＝AB＝6，由平移的性質得DE＝BP＝3，由BP⊥CE，BP∥DE得到△DEC是直角三角形，根據即可求出CE的長度；（3）當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小，由旋轉可得，△AMN≌△APB， PB=MN，易得△APM、△ABN都是等邊三角形，所以PA=PM，則PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，所以BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°，根據∠CAN=∠CAB+∠BAN=120°，所以∠CBN=90°，在Rt△ABC中，求得，在Rt△BCN中， 即為所求；

試題解析：

解：（1）①補全圖形如圖所示；

②如圖，連接BD、CD，如圖所示：

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC=AD，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形BCAD是矩形，

∴CD=AB=6，

∵BP=3，

∴DE=BP=3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，

∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中， ；

（2）證明：如圖，當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小

由旋轉可得，△AMN≌△APB，

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等邊三角形，

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中，易得

∴在Rt△BCN中，