Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且AE＝CF，連接EF交AC于點P，分別連接DE，DF，DP

（1）求證：△ADE≌△CDF；

（2）求證：△ADP∽△BDF；

（3）如圖2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）CF＝﹣1，

【解析】

（1）根據SAS證明即可；

（2）如圖1，作FH∥AB交AC的延長線于H．易證△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再證△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，進而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到結論；

（3）如圖2，作PH⊥BC于H．首先證明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，進而求出CF，即可解決問題．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，

∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）如圖1，作FH∥AB交AC的延長線于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠FCH＝45°，

∵AB∥FH，

∴∠HFC＝∠ABC＝90°，

∴∠FCH＝∠H＝45°，

∴CF＝FH＝AE，

∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，

∴△APE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵EP＝PF，

∴∠EDP＝∠FDP＝45°，

∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，

∴∠ADP＝∠BDF，

∵∠DAP＝∠DBF＝45°，

∴△ADP∽△BDF；

（3）如圖2中，作PH⊥BC于H．

∵∠ACB＝45°，PC＝，

∴PH＝CH＝1．

由（2）得：BE＝PE＝PF，

∴BE＝EF，

∴∠BFE＝30°，

∴PF＝2，

∴HF＝，

∴CF＝﹣1，