Question

【題目】已知兩函數：反比例函數和二次函數y＝x2+x+a．

（1）若兩個函數的圖象都經過點（2，2）．

①求兩函數的表達式；

②證明反比例函數的圖象經過二次函數圖象的頂點．

（2）若二次函數y＝x2+x+a的圖象與x軸有兩個不同的交點，是否存在實數a，使方程x2+x+a＝0的兩個實數根的倒數和等于﹣1？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，y＝x2+x﹣1；②見解析；（2）不存在符合條件的a的值，理由詳見解析

【解析】

（1）①把x＝2，y＝2分別代入兩個函數的表達式解出參數即可；

②先求出二次函數的頂點，再代入反比例函數中即可判斷；

（2）先根據題意求出a的取值范圍，再由根與系數的關系表達出兩個實數根的倒數和，解出a的值，并判斷是否與a的取值范圍相符即可．

（1）①解：根據題意，把x＝2，y＝2分別代入兩個函數的表達式，

由2＝得k＝4，

∴反比例函數為，

由2＝1+2+a得a＝﹣1，

∴二次函數為y＝x2+x﹣1，

∴兩函數的表達式分別是，y＝x2+x﹣1．

②證明：由y＝x2+x﹣1＝知，

二次函數圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣2），

又當x＝﹣2時，y＝，

所以反比例函數的圖象經過二次函數圖象的頂點．

（2）解：不存在符合條件的a的值，

理由：根據題意，由△＝1﹣4×a>0得a<1，

∴a的取值范圍是a<1，

設方程x2+x+a＝0的兩根分別為x1、x2，

由根與系數關系有：

x1+x2＝﹣4，x1x2＝4a，

又，

若，

得a＝1，這與a＜1不符，

∴不存在符合條件的a的值．