Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x²向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-h）²+k，所得拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求h、k的值；
（2）判斷△ACD的形狀，并說明理由；
（3）在線段AC上是否存在點M，使△AOM與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“左加右減，上加下減”的平移規律即可得到h、k的值；
（2）根據（1）題所得的拋物線的解析式，即可得到A、C、D的坐標，進而可求出AC、AD、CD的長，然后再判斷△ACD的形狀；
（3）易求得B點的坐標，即可得到AB、AC、OA的長；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若兩三角形相似，可考慮兩種情況：
①∠AOM=∠ABC，此時OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此時△AOM∽△ACB；
根據上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出AM的長，進而可根據∠BAC的度數求出M點的橫、縱坐標，即可得到M點的坐標．

解答：解：（1）∵y=x²的頂點坐標為（0，0），
∴y=（x-h）²+k的頂點坐標D（-1，-4），
∴h=-1，k=-4 （3分）

（2）由（1）得y=（x+1）²-4
當y=0時，
（x+1）²-4=0
x₁=-3，x₂=1
∴A（-3，0），B（1，0）（1分）
當x=0時，y=（x+1）²-4=（0+1）²-4=-3
∴C點坐標為（0，-3）
又∵頂點坐標D（-1，-4）（1分）
作出拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E
作DF⊥y軸于點F
在Rt△AED中，AD²=2²+4²=20
在Rt△AOC中，AC²=3²+3²=18
在Rt△CFD中，CD²=1²+1²=2
∵AC²+CD²=AD²
∴△ACD是直角三角形；

（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，則△AOC為等腰直角三角形，∠BAC=45°；
連接OM，過M點作MG⊥AB于點G，
AC=

18

=3

2

①若△AOM∽△ABC，則

AO

AB

=

AM

AC

，
即

3

4

=

AM

3 2

，AM=

3×3 2

4

=

9 2

4

∵MG⊥AB
∴AG²+MG²=AM²
∴AG=MG=

( 9 2 4 )2 2

=

81 16

=

9

4

OG=AO-AG=3-

9

4

=

3

4

∵M點在第三象限
∴M（-

3

4

，-

9

4

）；
②若△AOM∽△ACB，則

AO

AC

=

AM

AB

，
即

3

3 2

=

AM

4

，AM=

3×4

3 2

=2

2

∴AG=MG=

AM2 2

=

(2 2 )2 2

=2
OG=AO-AG=3-2=1
∵M點在第三象限
∴M（-1，-2）．
綜上①、②所述，存在點M使△AOM與△ABC相似，且這樣的點有兩個，其坐標分別為（-

3

4

，-

9

4

），（-1，-2）．

點評：此題考查了二次函數圖象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性質；需注意的是（3）題在不確定相似三角形的對應邊和對應角的情況下要分類討論，以免漏解．