Question

【題目】如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，連AB，且PA，PB的長是方程x2﹣2mx+3=0的兩根，AB=m．試求：

（1）⊙O的半徑；

（2）由PA，PB，圍成圖形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】（1）OA=1；（2）﹣π．

【解析】試題分析：用切線的性質及根的判別式求出m的值即AB的長，代入原方程得出兩根即PA、PB的長，因AB=PA=PB，△ABP為等邊三角形，∠APB=60°，則∠APO=30°，再用正切公式求出OA的長及圓的半徑．用正切求出OP的長，四邊形的度數和求出∠AOB的度數，再求出△AOB和△APB的面積和，減去扇形OAB的面積即為所求．

解：（1）連OA，OB，

∵PA=PB，

∴△=（﹣2m）2﹣4×3=0，

∴m2=3，m＞0，

∴m=，

∴x2﹣2x+3=0，

∴x1=x2=，

∴PA=PB=AB=，

∴△ABP等邊三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APO=30°，

∵PA=，

∴OA=1；

（2）∵∠AOP=60°，

∴∠AOB=120°，

S陰=S四邊形OAPB﹣S扇形OAB

=2S△AOP﹣S扇形OAB

=2××1×﹣，

=﹣π．