Question

（本題8分）如圖，帆船A和帆船B在太湖湖面上訓練，O為湖面上的一個定點，教練船靜候于O點，訓練時要求A、B兩船始終關于O點對稱．以O為原點，建立如圖所示的坐標系，x軸、y軸的正方向分別表示正東、正北方向．設A、B兩船可近似看成在雙曲線y＝上運動，湖面風平浪靜，雙帆遠影優美，訓練中當教練船與A、B兩船恰好在直線y＝x上時，三船同時發現湖面上有一遇險的C船，此時教練船測得C船在東南45°方向上，A船測得AC與AB的夾角為60°，B船也同時測得C船的位置（假設C船位置不再改變，A、B、C三船可分別用A、B、C三點表示）．

(1)發現C船時，A、B、C三船所在位置的坐標分別為A(_______，_______)、B(_______，_______)和C(_______，_______)；
(2)發現C船，三船立即停止訓練，并分別從A、O、B三點出發沿最短路線同時前往救援，設A、B兩船的速度相等，教練船與A船的速度之比為3：4，問教練船是否最先趕到？請說明理由．

Answer 1

(1)A(2，2)，B(－2，－2)，C(2，－2) (2) 教練船沒有最先趕到 理由略

分析：（1）A、B兩點直線y=x上和雙曲線y=，列方程組可求A、B兩點坐標，在依題意判斷△ABC為等邊三角形，OA=2，則OC=OA=2，過C點作x軸的垂線CE，垂足為E，利用OC在第四象限的角平分線上求OE，CE，確定C點坐標；
（2）分別求出AC、OC的長，分別表示教練船與A、B兩船的速度與時間，比較時間的大小即可．
解：（1）CE⊥x軸于E，解方程組得，
∴A（2，2），B（-2，-2），
在等邊△ABC中可求OA=2，
則OC=OA=2，
在Rt△OCE中，OE=CE=OC?sin45°=2，
∴C（2，-2）；
（2）作AD⊥x軸于D，連AC、BC和OC，
∵A（2，2），
∴∠AOD=45°，AO=2，
∵C在O的東南45°方向上，
∴∠AOC=45°+45°=90°，
∵AO=BO，∴AC=BC，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴AC=BC=AB=2AO=4，
∴OC=?4=2，
由條件設教練船的速度為3m，A、B兩船的速度都為4m，
則教練船所用時間為，A、B兩船所用時間均為=，
∵=，=，
∴＞；
∴教練船沒有最先趕到．