Question

數學課上，張老師給出了問題：
如圖（1），△ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，動點P邊BC上，若這兩點分別從C、B點同時出發，以相同的速度由C向A和由B向C運動，連接AP，BD交于點Q，兩點運動過程中AP=BD成立嗎？請證明你的結論；
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：由△ABP≌△BCD，從而得出AP=BD．
在此基礎上，同學們作了進一步探究：
（1）小穎提出：如果把原題中“動點D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D，P在射線CA和射線BC上運動”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點運動過程中∠BQP的大小保持不變．請你利用圖（2）的情形，求證：∠BQP=60°；
（2）小華提出：如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動點D，P在運動過程中，DE始終等于PE．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程．

Answer 1

解：（1）根據題意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
∵，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（2）小華的觀點正確．
過點D作DG∥AB交BC于點G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，
∴△DCG為等邊三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
∵，
∴△DGE≌△PBE（ASA），
∴DE=EP．
分析：（1）根據提示的思路，證明△ABP和△BCD全等，再根據全等三角形對應角相等得∠APB=∠BDC，因為∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，所以∠BDC+∠DAQ=60°；
（2）過D作DG∥AB交BC于點G，根據等邊三角形的三邊相等，可以證明DG=CD=BP，然后證明△DGE和△PBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可證明．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；題目屬于信息給予題，讀懂題目提供的信息，根據所提供的思路尋找條件是完成題目證明的關鍵，也是解答題目的捷徑和最簡潔的思路，主要運用三角形全等的判定和全等三角形的性質．