Question

數學課上，張老師給出了問題：如圖（1），四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF 于點F，求證：AE=EF。
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB 的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，在此基礎上，同學們作了進一步探究：
（1）小穎提出：如圖（2），如果把“點E是邊BC的中點” 改為“點E是邊BC上（除B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“AE= EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小華提出：如圖（3），點E是BC的延長線上（除C 點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF” 仍然成立，你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由。

Answer 1

解：（1）正確， 證明：如圖（1），在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME， ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是正方形外角∠DCG的平分線，　 ∴∠DCF=45°，　 ∴∠BCF=135°，　 ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF；
（2）正確， 證明：如圖（2）， 在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE， ∴BN=BE， ∴∠N=∠FCE=45°， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF。