Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是BC的中點，連接DE，DF⊥DE交BA的延長線于點F．連接EF、AC，DE、EF分別與C交于點P、Q，則PQ＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點E作EM∥AB，交AC于點M，由題意可證ME∥AB∥CD，△ADF≌△CDE，可得AF＝CE＝ME，根據平行線分線段成比例可得，，，即可求PQ的長．

如圖，過點E作EM∥AB，交AC于點M，

∵四邊形ABCD是正方形

∴AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠DAB＝∠DCE＝90°，∠ACE＝45°，AB∥CD，

∴∠CDE+∠ADE＝90°，AC＝4

∵DF⊥DE，

∴∠FDA+∠ADE＝90°

∴∠CDE＝∠FDA，且∠DAF＝∠DCE＝90°，AD＝CD，

∴△ADF≌△CDE（AAS）

∴AF＝CE，

∵點E是BC中點，

∴CE＝BE＝BC＝AF，

∵ME∥CD

∴∠DCE＝∠MEB＝90°，且∠ACB＝45°

∴∠CME＝∠ACB＝45°，

∴ME＝CE＝BC，

∵ME∥AB，AB∥CD，

∴ME∥AB∥CD，

∴，，，

∴MQ＝AQ，AM＝CM＝2，CP＝2MP，

∴MQ＝，MP＝

∴PQ＝MQ+MP＝