Question

【題目】如圖，點O為等邊三角形ABC內一點，連接OA，OB，OC，以OB為一邊作∠OBM＝60°，且BO＝BM，連接CM，OM.

(1)判斷AO與CM的大小關系并證明；

(2)若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判斷△OMC的形狀并證明．

Answer 1

【答案】(1)AO＝CM (2)△OMC是直角三角形

【解析】試題分析：（1）先證明△OBM是等邊三角形，得出OM=OB，∠ABC=∠OBC，由SAS證明△AOB≌△CMB，即可得出結論；

（2）由勾股定理的逆定理即可得出結論．

試題解析：解：（1）AO=CM．理由如下：

∵∠OBM=60°，OB=BM，∴△OBM是等邊三角形，∴OM=OB=10，∠ABC=∠OBC=60°，

∴∠ABO=∠CBM．在△AOB和△CMB中，∵OB=OM，∠ABO=∠CBM，AB=BC，∴△AOB≌△CMB（SAS），∴OA=MC；

（2）△OMC是直角三角形；理由如下：

在△OMC中，OM2=100，OC2+CM2=62+82=100，∴OM2=OC2+CM2，∴△OMC是直角三角形．