Question

如圖，已知拋物線

（1）求證：無論m取什么實數，這條拋物線與x軸一定有交點。
（2）設這條拋物線與x軸的正半軸交于兩點（設A點在B點的左側），當線段AB長為3時，求這條拋物線的解析式，以及A、B兩點的坐標。
（3）設（2）中的拋物線與y軸交于點C，過A、B兩點分別作兩條直線與x軸垂直，又過點C作直線l，l與這兩條直線依次交于x軸上方的E、F兩點，如果梯形ABFE的面積等于9，求直線l的解析式。
（4）設線段AB上有一個動點P，P從A點出發向B點移動（但不與B重合），過P點作PM垂直x軸，交（2）中的拋物線于點M。設，問：是否存在這樣的t值，使與以P、M、B為頂點的直角三角形相似？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由條件知，一元二次方程根的判別式為
                 
               ∵無論m取什么實數，都有成立，即成立
               ∴方程必定有實數根，即拋物線與x軸一定有交點。
    （2）由題意，可設，則
                由一元二次方程根與系數關系，有
                
                  
                   解得
               當時，與不符合，∴只取m=4
                 ∴所求拋物線的解析式為
                  當時，解得
                
（3）∵拋物線與y軸交于點C 
            
           ∴可設直線l的解析式為： 
            分別與x軸垂直， 可設
            都在x軸上方，
              而
             
                即
                解得
                 ∴直線l的解析式為：
（4）存在t，使與相似
  
     而
     要使與相似，應有兩種可能情形：
        <1>當時，有
              即整理得
             ∵t=3時，點P與點B重合，不合題意，∴t≠3
           
           取時，符合條件
<2>當時，仍有
      即有整理，得
      解得
        當t=0或t=3時均不符合題設條件，即這種情形不可能
         綜合<1><2>可知，存在t，當它的值為時，可使與相似。