Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90°，得到線段CQ，連接BP，DQ．

（1）如圖a，求證：△BCP≌△DCQ；

（2）如圖，延長BP交直線DQ于點E．

① 如圖b，求證：BE⊥DQ；

② 如圖c，若△BCP為等邊三角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由；

③ 若正方形ABCD的邊長為10，DE=2,PB=PC,直接寫出線段PB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②△DEP為等腰直角三角形，證明見解析；③PB=或

【解析】（1）由旋轉的性質得到∠BCP=∠DCQ，即可證明△BCP≌△DCQ；

（2）①由全等的性質和對頂角相等即可得到答案；

②由等邊三角形的性質和旋轉的性質求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，即可判斷△DEP的形狀．

③由（1）結論，根據等腰三角形三線合一性質和相似三角形性質及勾股定理可得.

(1):如圖a

證明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ

（2）①如圖b，∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②△DEP為等腰直角三角形

∵△BCP為等邊三角形，

∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP為等腰直角三角形．

③PB= 或