Question

【題目】已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M．

（1）求證：點P是線段AC的中點；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結OM，如圖，

∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M，

∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，

∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，

而∠2=∠B，

∴∠1=∠C，

∴PC=PM，

∴PA=PC，

∴點P是線段AC的中點；

（2）

解：由（1）∠PMC=∠C，

在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，

∴BC= =5，

∴sin∠C= = ，

即sin∠PMC= ．

【解析】（1）連結OM，根據切線的性質得OM⊥MP，BA⊥AC，根據切線長定理得PM=PA，則∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，則PA=PC；（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根據勾股定理計算出BC=5，然后根據正弦的定義得到sin∠C= = ，于是得到sin∠PMC的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．