Question

【題目】在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1）當點P與點C重合時（如圖①）：

①求證：△BOG≌△POE；②猜想：＝　 ；

（2）當點P與點C不重合時，如圖②，的值會改變嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2），不會改變，理由見解析.

【解析】

（1）①由四邊形ABCD是正方形，P與C重合，易證得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，證得∠GBO=∠EPO，則可利用ASA證得：△BOG≌△POE；
②先判斷出∠BPF=∠GPF，進而得出BF=BG，由①得△BOG≌△POE，得出BG=PE，即可得出結論；
（2）首先過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易證得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=BM．則可求得

的值；

（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°，

∵PF⊥BG，∠PFB＝90°，

∴∠GBO＝90°﹣∠BGO，∠EPO＝90°﹣∠BGO，

∴∠GBO＝∠EPO，

在△BOG和△POE中，

∵，

∴△BOG≌△POE（ASA）；

②由①知，△BOG≌△POE，

∴BG＝PE，

∵∠BPE＝∠ACB，∠BPF+∠GPF＝∠ACB，

∴∠BPF＝∠GPF，

∵BF⊥PE，

∴BF＝BG，

∴，

故答案為；

（2）解：猜想．

證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．

∵∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠NBP＝∠NPB．

∴NB＝NP．

∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，

∴∠MBN＝∠NPE，

在△BMN和△PEN中，

，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM＝PE．

∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，

∴∠BPF＝∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP＝∠MFP＝90°．

在△BPF和△MPF中，

，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF＝MF．

即BF＝BM．

∴BF＝PE．

即＝.