Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，動點P從點B出發，沿折線BA﹣AC向終點C做勻速運動，點P在線段BA上的運動速度是5cm/s；在線段AC上的運動速度是cm/s，當點P不與點B、C重合時，過點P作PQ⊥BC于點Q，將△PBQ繞PQ的中點旋轉180°得到△QB′P，設四邊形PBQB′與△ABD重疊部分圖形的面積為y（cm2），點P的運動時間為x（s）．

（1）用含x的代數式表示線段AP的長．

（2）當點P在線段BA上運動時，求y與x之間的函數關系式．

（3）當經過點B′和△ADC一個頂點的直線平分△ADC的面積時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）當時，PA=5t，當1<x<5時,

（2）y=；（3）x=s或s或s時，經過點B′和△ADC一個頂點的直線平分△ADC的面積．

【解析】分析：（1）分兩種情形討論即可．
（2）分兩種情形①如圖1中，當時,重疊部分是四邊形PBQB′.

②如圖2中，當重疊部分是五邊形PBQMN.分別求解即可．
（3）分三種情形①如圖3中，當PA=B時，PB′是△ABD是中位線．②如圖4中，設AB′的延長線交BC于G．③如圖5中，連接DB′交AC于N，延長B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．分別構建方程即可解決問題．

詳解：(1)當時，PA=5t，

當1<x<5時,

(2)如圖1中,當時,重疊部分是四邊形PBQB′.

∵PQ⊥BC，AD⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴

∴

∴PQ=4x，BQ=3x，

由題意四邊形PBQB′是平行四邊形，

∴

如圖2中,當重疊部分是五邊形PBQMN.

∵PN∥BD，

∴

∴PN=3(1x),B′N=3x3(1x)=6x3,易知MN=4(2x1)，

∴

綜上所述,

(3)如圖3中,當PA=B時,PB′是△ABD是中位線。

∴AB′=DB′,此時CB′平分△ADC的面積,此時.

如圖4中,設AB′的延長線交BC于G.

當DG=GC=4時,AB′平分△ADC的面積，

∵PB′∥BG，

∴ ∴

∴

如圖5中,連接DB′交AC于N,延長B′P交AD于T,作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H.

由題意PA=(x1),AT=x1,TP=2(x1),PB′=BQ=3+2(x1)=2x+1，

當AN=CN時,DB′平分△ADC的面積，

∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，

∴B′M=TB′MT=2(x1)+2x+14=4x5,MN=2(x1)=3x,TD=4(x1)=5x，

∵MN∥TD，

∴

∴

∴

綜上所述,x=s或s或s時,經過點B′和△ADC一個頂點的直線平分△ADC的面積。