Question

【題目】如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標(biāo)系xO中，使OA、OC分別落在x、y軸的正半軸上，其中AB＝15，對(duì)角線AC所在直線解析式為y＝﹣x+b，將矩形OABC沿著BE折疊，使點(diǎn)A落在邊OC上的點(diǎn)D處．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求EA的長(zhǎng)度；

（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PBE的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)確定b的值，利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)A坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，CD＝＝12，OD＝15﹣12＝3，設(shè)DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根據(jù)DE2＝OD2+OE2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）如圖作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接BE′交y軸于P，此時(shí)△BPE的周長(zhǎng)最小．利用待定系數(shù)法求出直線BE′的解析式即可解決問(wèn)題；

解：（1）∵AB＝15，四邊形OABC是矩形，

∴OC＝AB＝15，

∴C（0，15），代入y＝y＝﹣x+b得到b＝15，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+15，

令y＝0，得到x＝9，

∴A（9，0），B（9，15）．

（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，

∴CD＝＝12，

∴OD＝15﹣12＝3，

設(shè)DE＝AE＝x，

在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，

∴x2＝32+（9﹣x）2，

∴x＝5，

∴AE＝5．

（3）如圖作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接BE′交y軸于P，此時(shí)△BPE的周長(zhǎng)最小．

∵E（4，0），

∴E′（﹣4，0），

設(shè)直線BE′的解析式為y＝kx+b，則有

解得，

∴直線BE′的解析式為y＝x+，

∴P（0，）．

故答案為：（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）.