Question

【題目】如圖，在中，，，，點從點出發，沿折線以每秒個單位長度的速度向終點運動。當點不與點、重合時，在邊上取一點，滿足，過點作，交邊于點，以、為邊做矩形.設點的運動時間為秒.

（1）用含的代數式表示線段的長;

（2）當矩形為正方形時，求的值;

（3）設矩形與重疊部分圖形的周長為，求與之間的函數關系式;

（4）作點關于直線的對稱點，作點關于直線的對稱點.當、這兩點中只有一個點在矩形內部時，直接寫出此時的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，，當時，；（2）當矩形為正方形時，的值為；（3）當時，，當時， ；（4）或.

【解析】

（1）當點P在AC上時，延長AC至點D，使得CD=AC，易得∠ABD=2∠ABC=∠PQA，可得PQ∥DB，得△APQ∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例列出等式變形即可得出結論；

當點P在CB上時，過點Q作QE⊥BC，由∠PQA=2∠B和三角形外角的性質可得△QPB為等腰三角形，根據“三線合一”可得BE=BP=(7-t)，然后由△BQE∽△BAC列出比例式即可得出結論；

（2）當點P在AC上時，過P作QG⊥AC，QH⊥BC，由（1）可得△AQP是等腰三角形，可得GP=t，根據矩形的判定得四邊形GQHC為矩形，得出QH=GC=3-t，根據圓內接四邊形的對角互補和等腰三角形的性質得出∠A=∠QMH，進而可得△QHM∽△BCA，根據相似三角形的性質列出比例式求出QM，令QM=PQ即可求出t；當P在BC上時，不能構成正方形，綜上即可得出結論；

（3）當點P在AC上時，易得∠CPK=∠KMN=∠B，利用三角函數可求得PK，MK的值，然后代入計算PQ+QM+MK+PK即可；

當點P在BC上時，由（1）可得∠QPM=∠B，在Rt△QPM中，利用三角函數可求得QM，PM的長，然后代入計算即可；

（4）當點P在AC上時，過點A作AD⊥PQ，過點C作CE⊥PN，分點A′在矩形PQMN內部、點C′不在矩形PQMN內部和點A′不在矩形PQMN內部、點C′在矩形PQMN內部，即和兩種情況求出t的范圍；當點P在BC上時，顯然點A′和點C′都在矩形PQMN外部．

解：（1）當點P在AC上時，即0＜t≤3時，延長AC至點D，使得CD=AC，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=5．

在△ABC和△DBC中，

，

∴△ABC≌△DBC（SAS），

∴AC=CD=3，AB=CD=5，∠ABC=∠DBC．

∵∠PQA=2∠ABC，

∴∠PQA=∠ABD，

∴PQ∥BD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

即，

得PQ=；

當點P在CB上時，即3＜t＜7時，

過點Q作QE⊥BC于點E，

∵∠PQA=∠B+∠QPB，∠PQA=2∠B，

∴∠QPB=∠B，

∴PQ=QB，

∴BE=PB= (7-t)，

∵∠C=90°，

∴QE∥AC，

∴，

即，

解得：QB=，

∴PQ=；

綜上，當時，，當時，.

（2）當時，如圖①，

過點作QG⊥AC于點G，于點.

由（1）可得AQ=PQ，

∴∠A=∠APQ，AG=GP=AP=t，

∴CG=AC-AG=3-t．

∵∠QGC=∠C=∠QHC=90°，

∴四邊形QGCH為矩形，

∴QH=CG=3-t．

∵∠C=∠PQM=90°，

∴∠APQ=∠QMH，

∴∠A=∠QMH，

∵∠QHM=∠C=90°，

∴△QHM∽△BCA，

∴，

即，

∴.

當矩形為正方形時，

.

解得.

當時，矩形不可能為正方形.

∴當矩形為正方形時，的值為.

（3）當時，如圖②，

由（1）可得∠CPK=∠KMN=∠B，

在Rt△PCK中，

PK===，

在Rt△KNM中，

MK==，

.

當時，如圖③，

由（1）可得∠QPM=∠B，

在Rt△QPM中，

QM=PQtan∠QPM=，

PM===，

.

（4）當點P在AC上時，0＜t＜3，

過點A作AD⊥PQ于點D，過點C作CE⊥PN于點E，如圖所示：

由（1）得∠APQ=∠PCE=∠BAC，

在Rt△ADP中，AD=APsin∠APQ=，

在Rt△PCE中，CE=CPcos∠PCE=．

當點A′在矩形PQMN內部、點C′不在矩形PQMN內部時，

，

即，

解得：t≤，

故0＜t≤；

當點A′不在矩形PQMN內部、點C′在矩形PQMN內部時，

，

即，

解得：t≥，

故≤t＜3．

當點P在BC上時，顯然點A′和點C′都在矩形PQMN外部．

故或.