Question

【題目】如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的點，，弦CD交AB于點E．

（1）當PB是⊙O的切線時，求證：∠PBD=∠DAB；

（2）求證：BC2﹣CE2=CEDE；

（3）已知OA=4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切線知∠PBD+∠ABD=90°，據此可得答案；

（2）連接OC，設圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r，證△ADE∽△CBE得DECE=AEBE=r2-OE2，由知∠AOC=∠BOC=90°，根據勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，據此得BC2-CE2=r2-OE2，從而得證；

（3）先求出BC=4、CE=2，根據BC2-CE2=CEDE計算可得．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴，即DECE=AEBE，

如圖，連接OC，

設圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r，

則DECE=AEBE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，

∵，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，

則BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，

∴BC2﹣CE2=DECE；

（3）∵OA=4，

∴OB=OC=OA=4，

∴BC==4，

又∵E是半徑OA的中點，

∴AE=OE=2，

則CE===2，

∵BC2﹣CE2=DECE，

∴（4）2﹣（2）2=DE2，

解得：DE=．