Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一點，以EC為直徑的⊙O經過點D。

（1）求證:AB是⊙O的切線；
（2）若CD的弦心距為1,BE=EO.求BD的長.

Answer 1

（1）證明見解析（2）

（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB為弧所對的圓心角和圓周角，
∴∠DOB =2∠DCB。
又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB。
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。
∴AB是⊙O的切線。
（2）如圖，過點O作OM⊥CD于點M，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB為弧所對的圓心角和圓周角，∴∠DOB =2∠DCB。
∴∠DCB=30°。
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2。
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。
∴在Rt△BDO中，根據勾股定理得：。
（1）連接OD，由OD=OC，根據等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對圓周角是圓心角一半的性質，可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中兩銳角互余，等量代換可得出∠B與∠ODB互余，即OD垂直于BD，確定出AB為圓O的切線。
（2）過O作OM垂直于CD，根據垂徑定理得到M為DC的中點，由BD垂直于OD，得到三角形BDO為直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，從而確定出
∠DOB=60°，又OD=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對圓周角是圓心角一半的性質，可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的長求出OC的長，從而確定出OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長。
本題另解：如圖，過O作OM垂直于CD，連接ED，
由垂徑定理得到M為CD的中點，又O為EC的中點，得到OM為三角形EDC的中位線，利用三角形中位線定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的長求出ED的長，再由BE=OE，得到ED為直角三角形DBO斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由DE的長求出OB的長，再由OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長。