Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為度；
（2）繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；
（3）在上述直角三角板從圖1旋轉到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）解：如圖3，∠AOM﹣∠NOC=30°．

設∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得

∠BOC=2α．

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴α+2α=180°．

解得 α=60°．

即∠AOC=60°．

∴∠AON+∠NOC=60°．①

∵∠MON=90°，

∴∠AOM+∠AON=90°．②

由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°

（3）解：（ⅰ）如圖4，當直角邊ON在∠AOC外部時，

由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．

因此三角板繞點O逆時針旋轉60°．

此時三角板的運動時間為：

t=60°÷15°=4（秒）．

（ⅱ）如圖5，當直角邊ON在∠AOC內部時，

由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．

因此三角板繞點O逆時針旋轉240°．

此時三角板的運動時間為：

t=240°÷15°=16（秒）

【解析】（1）根據旋轉的性質知，旋轉角是∠MON；（2）如圖3，利用平角的定義，結合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質、圖中角與角間的數量關系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分類討論：（ⅰ）當直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉角是60°；（ⅱ）當直角邊ON在∠AOC內部時，旋轉角是240°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的運算的相關知識，掌握角之間可以進行加減運算；一個角可以用其他角的和或差來表示，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．