Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中有三點。

（1）連接，若

①線段的長為 （直接寫出結果）

②如圖1，點為軸負半軸上一點，點為線段上一點，連接作,且,當點從向運動時，點不變，點隨之運動，連接,求線段的中點的運動路徑長;

（2）如圖2，作,連接并延長，交延長線于于.若,且，在平面內是否存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）① ② （2）

【解析】

（1）①由兩點的距離公式可得出答案；

②分別作出點D運動到點A，B時的等腰直角三角形DCE，畫出運動路徑如圖，求出E1，E2的坐標，即可求出E1E2的長，則答案可求出；

（2）連接BH，證明∠HBA＝45°，過點H作HN⊥AB，求出H點坐標，再根據平行四邊形的性質可求出M點坐標．

（1）①∵A（3，0），C（4，1），

∴AC＝．

故答案為：．

②分別作出點D運動到點A，B時的等腰直角三角形DCE，畫出運動路徑如圖，

∵C（4，1），△CAE1為等腰直角三角形，A,D重合，A（-3，0）

∴CD=AC==AE1

∴CE1=

∵CE1∥x軸

∴E1（2，1），

分別過點C，E2作x軸的垂線，垂足分別為M，N，

∵∠CBM＝∠BE2N，∠CMB＝∠BNE2，BC＝BE2，

∴△CMB≌△BNE2（AAS），

∴E2N＝BM＝5，CM＝BN＝1，

∴E2（2，5），

∴E1E2＝．

∵Q1Q2為△PE1E2的中位線，

∴線段EP的中點Q的運動路徑長Q1Q2＝E1E2＝2．

（2）如圖，連接BH，

∵AF⊥AC，GH⊥CF，

又A（3，0），B（1，0），BF＝BG，

∴BH＝GF＝AB＝4，

又∵∠C＝67.5°，

∴∠AGB＋∠CFB＝112.5°，

∴∠ABG＋∠HBF＝360°2（∠AGB＋∠CFB）＝135°，

即∠HBA＝45°，

過點H作HN⊥AB，∴△BHN是等腰直角三角形，

∴HN＝BN，

∴BH==HN

∴HN＝BN=BH=2，

∴H（12，2），

∵A（3，0），B（1，0），

如圖，四邊形ABM1H是平行四邊形時，A平移至B的方式是：向右平移4個單位，

∴H點向右平移4個單位得到M1；

四邊形ABH M2是平行四邊形時，B平移至A的方式是：向左平移4個單位，

∴H點向右平移4個單位得到M2；

四邊形AHBM3是平行四邊形時，H平移至B的方式是：向右平移2個單位，向下平移2個單位，

∴A點向右平移2個單位，向下平移2個單位M3；

∴使以B，A，H，M為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標為．