Question

【題目】（問題）如圖①，點D是∠ABC的角平分線BP上一點，連接AD，CD，若∠A與∠C互補，則線段AD與CD有什么數量關系？

（探究）

探究一：如圖②，若∠A＝90°，則∠C＝180°﹣∠A＝90°，即AD⊥AB，CD⊥BC，又因為BD平分∠ABC，所以AD＝CD，理由是：　 　．

探究二：若∠A≠90°，請借助圖①，探究AD與CD的數量關系并說明理由．

[理論]點D是∠ABC的角平分線BP上一點，連接AD，CD，若∠A與∠C互補，則線段AD與CD的數量關系是　 　．

[拓展]已知：如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC．

求證：BC＝AD+BD

Answer 1

【答案】【探究】探究一：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；探究二： AD=CD，理由詳見解析；【理論】AD＝CD；【拓展】詳見解析

【解析】

探究一：根據角平分線的性質定理解答；

探究二：作DF⊥BC于F，作DE⊥AB交BA的延長線于E，證明△DAE≌△DCF，根據全等三角形的性質證明結論；

[理論]根據探究結果得到答案；

[拓展]在BC上取一點E，使BE＝BD，利用等腰三角形的性質，結合前面的結論得到DE=AD，通過證明得出CE=DE=AD即可證明結論．

解：探究一：∵BD平分∠ABC，AD⊥AB，CD⊥BC，

∴AD＝CD，

理由是：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，

故答案為：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

探究二：AD＝CD．

理由：作DF⊥BC于F，作DE⊥AB交BA的延長線于E，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

∵∠BAD+∠DAE＝180°，∠BAD+∠C＝180°，

∴∠DAE＝∠C，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（AAS）

∴AD＝CD，

故答案為：AD＝CD；

[理論]綜上所述，點D是∠ABC的角平分線BP上一點，連接AD，CD，若∠A與∠C互補，則線段AD與CD的數量關系是AD＝CD，

故答案為：AD＝CD；

[拓展]在BC上取一點E，使BE＝BD，

∴∠BDE=∠BED，

∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠ABC=20°，

∴∠BDE=∠BED=（180°-∠EBD）=80°，

∴∠BED+∠A=180°，

∴由前面的結論，DE=AD，

又∵∠CDE=∠BED-∠C=40°=∠C，

∴CE=DE=AD，

∴BC=BE+EC=AD+BD，

即BC＝AD+BD．