Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，連接對(duì)角線BD交AE于M，交AF于N，若DN=1，BM=2，那么MN=_____．證明：DN2+BM2=MN2．

Answer 1

【答案】

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BDC=∠ABD=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG=∠DAF，∠AFD=∠G，AF=AG，∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF．在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN=MH．∵AF=AG，AN=AH，∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH．在△DFN和△BGH中，，∴△DFN≌△BGH（SAS），∴∠GBH=∠NDF=45°，DN=BH，∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG﹣∠GBH+∠ABD=90°﹣45°+45°=90°，∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2．

當(dāng)DN=1，BM=2時(shí)，12+22=MN2，∴MN=．∵MN＞0，∴MN=．

故答案為：．